Cho ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{\sqrt{a^2+8bc}+3}{\sqrt{\left(2a+c\right)^2+1}}\) có dạng \(x\sqrt{y}\) (x,y thuộc N). Hỏi x+y bằng bao nhiêu?
Cho ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{\sqrt{a^2+8bc}+3}{\sqrt{\left(2a+c\right)^2+1}}\) có dạng \(x\sqrt{y}\) (x,y thuộc N). Hỏi x+y bằng bao nhiêu?
\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\) ≤ 1 cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh các BĐT sau
-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\) ≤ \(\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thực dương a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\\\).CMR
\(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+c}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
Cho a, b, c là các số thực dương đôi một khác nhau thỏa mãn:
\(\dfrac{\sqrt{ab}+1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{bc}+1}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ca}+1}{\sqrt{c}}\)
Chứng minh rằng abc = 1
Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
CMR: $xyz=1$
-----------------------------
Có:
$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$
$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)
Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$
$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)
Ta có đpcm.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\) . Cmr
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{c+b+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{a+c+2b}}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=2\) .Chứng minh:
\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\dfrac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\dfrac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Cho a,b,c >0 lập thành cấp số cộng .Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
\(a,b,c\)theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a-b=b-c\).
\(d\)là công sai của cấp số cộng.
Nếu \(d=0\)dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu \(d\ne0\):
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-b}\)
\(=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>a,b,ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a−b=b−c.
dlà công sai của cấp số cộng.
Nếu d=0dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu d≠0:
1√a+√b +1√b+√c =√a−√ba−b +√b−√cb−c =√a−√ca−b
=a−c(a−b)(√a+√c) =2√a+√c
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\ge\dfrac{1}{2}\)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz\left(xy+y+1\right)}+\dfrac{x}{x\left(yz+z+1\right)}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x.xyz+xyz+xz}+\dfrac{x}{xyz+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x+1+xz}+\dfrac{x}{1+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)